Rappels

Définitions

• Une distribution binomiale permet de décrire le comportement d’une variable quantitative discrète qui compte le nombre de succès lors d’une séquence de n épreuves de Bernoulli indépendantes, ayant chacune une probabilité p de se conclure par un succès.

  • Notation : Bin(n ; p). Rappelons qu’une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui a exactement deux issues possibles : succès ou échec.

• Une distribution de Bernoulli est un cas particulier de la loi binomiale pour lequel n = 1, c’est-à-dire qu’une seule épreuve de Bernoulli est réalisée. Concrètement, lors d’une réalisation unique d’une expérience ayant deux issues possibles (succès ou échec), une variable de Bernoulli prend la valeur 1 si un succès survient, et 0 sinon.

  • Comme c’est le cas plus généralement pour la loi binomiale, il faut spécifier le paramètre p, soit la probabilité de succès lors de l’épreuve de Bernoulli.

Exemples d’application

• Distribution binomiale : Sur les 600 000 joueurs ayant acheté un billet pour le prochain tirage de la loterie Québec 49, combien gagneront le gros lot ? Pour chaque joueur, les deux seules issues possibles sont « Gagner le gros lot » et « Ne pas gagner le gros lot ». Il y a n = 600 000 joueurs et la probabilité de succès (de gagner) de chaque joueur est d’une chance sur 13 983 816 (= p).

  • Remarque : La probabilité mentionnée est tirée du bas de la page du site de Lotto-Québec.

  • Notation : Bin(600 000 ; 1 / 13 983 816).

• Distribution de Bernoulli : Est-ce qu’un joueur gagnera le gros lot avec son billet pour jouer à la loterie Québec 49 ? Les deux seules réponses possibles sont oui (le joueur gagne le gros lot) et non (le joueur ne le gagne pas). La probabilité de succès (de gagner) est d’environ 1 chance sur 14 millions (= p).

Syntaxe

Simuler x nombres aléatoires - Distributions binomiale et de Bernoulli

Pour simuler x nombres aléatoires respectant les paramètres d'une distribution binomiale ou d’une distribution de Bernoulli, vous pouvez utiliser la syntaxe ci-dessous. Le seul paramètre changeant est le premier : il faut absolument indiquer n = 1 pour une distribution de Bernoulli. Pour une distribution binomiale, n peut prendre n’importe quelle valeur entière plus grande que 0.

=LOI.BINOMIALE.INVERSE(n ; p ; TABLEAU.ALEA(x)) --> Distribution binomiale
=LOI.BINOMIALE.INVERSE(1 ; p ; TABLEAU.ALEA(x)) --> Distribution de Bernoulli

Exemple d’application - Distribution binomiale

Reprenons l’exemple du haut de la page où nous parlions des n = 600 000 joueurs ayant acheté un billet pour un tirage de la loterie Québec 49 et ayant chacun 1 chance sur 13 983 816 de gagner le gros lot. Cet exemple était associé au concept de distribution binomiale. Si nous voulons simuler 100 valeurs possibles du nombre de personnes ayant gagné le gros lot lors d’un tirage donné, nous obtenons la syntaxe ci-dessous.

=LOI.BINOMIALE.INVERSE(600000 ; 1/13983816 ; TABLEAU.ALEA(100))

Exemple d’application - Distribution de Bernoulli

Reprenons l’exemple du haut de la page où nous parlions du joueur (n = 1) ayant acheté un billet pour un tirage de la loterie Québec 49 et ayant 1 chance sur 13 983 816 de gagner le gros lot. Cet exemple était associé au concept de distribution de Bernoulli. Si nous voulons simuler 100 valeurs possibles du résultat du tirage (1 si le joueur a gagné le gros lot, 0 sinon), nous obtenons la syntaxe ci-dessous.

=LOI.BINOMIALE.INVERSE(1 ; 1/13983816 ; TABLEAU.ALEA(100))

Vidéos d’aide

La vidéo ci-dessous illustre comment utiliser les fonctions LOI.BINOMIALE.INVERSE (BINOM.INV) et TABLEAU.ALEA (RANDARRAY) afin de simuler le nombre de fois qu’un évènement sera un succès dans le contexte d’une distribution binomiale ou de Bernoulli. De plus, vous trouverez en dessous de cette première vidéo, une deuxième vidéo qui explicite comment Excel arrive à fournir les résultats voulus.

Complément - Comprendre la logique derrière la simulation d’une loi binomiale

À VENIR. La vidéo ci-dessous s’adresse uniquement aux personnes cherchant à comprendre la logique qu’Excel utilise pour fournir les résultats voulus lors de la simulation d’une distribution binomiale.