Calcul de la variance d'une combinaison linéaire de variables aléatoires avec SOMMEPROD
Description
Cette page s’adresse aux étudiants suivant le cours MATH 10605 - Introduction à l’analytique d’affaires ou à tout autre étudiant familier avec la notion de calcul de la variance d’une combinaison linéaire de variables aléatoires et cherchant à savoir comment calculer cette variance à l’aide de la fonction SOMMEPROD (SUMPRODUCT). Une vidéo d’aide est fournie tout en bas de cette page.
Exemple pour une combinaison linéaire de 2 variables aléatoires
Supposons que nous voulons calculer efficacement la variance de la variable aléatoire T = a1X1 + a2X2 dont les différentes valeurs utiles sont listées dans le tableau de gauche ci-dessous. Dans le tableau de droite, nous avons indiqué le nom des cellules où seraient situées ces valeurs dans Excel. Dans cette situation, nous obtenons les équivalences ci-dessous.
Calcul mathématique : Variance = V(X)
V(X) = a12 * V(X1) + a22 * V(X2) + 2 * a1* a2 * ρX1;X2 * σ1 * σ2
V(X) = (a1 * a1) * (σ1 * σ1) + (a2 * a2) * (σ2 * σ2) + (2 * a1* a2 * ρX1;X2 * σ1 * σ2)
Calcul Excel : Variance = V(X)
V(X) = (A1 * A1) * (B1 * B1) + (A2 * A2) * (B2 * B2) + (2 * A1 * A2 * C1 * B1 * B2)
V(X) = SOMMEPROD(A1:A2 ; A1:A2 ; B1:B2 ; B1:B2) + PRODUIT(2 ; A1:A2 ; C1 ; B1:B2)
Remarque : La fonction PRODUIT (PRODUCT) permet de multiplier toutes les cellules concernées ensemble.
Nombres à utiliser |
| Références Excel | |||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Variables | Coefficients | Écarts-types | Coefficient de corr. | Coefficients | Écarts-types | Coefficient de corr. | |
X1 | a1 | σ1 | ρX1;X2 | A1 | B1 | C1 | |
X2 | a2 | σ2 |
| A2 | B2 |
|
Exemple pour une combinaison linéaire de 3 variables aléatoires
Supposons que nous voulons calculer efficacement la variance de la variable aléatoire T = a1X1 + a2X2 + a3X3 dont les différentes valeurs utiles sont listées dans le tableau de gauche ci-dessous. Dans le tableau de droite, nous avons indiqué le nom des cellules où seraient situées ces valeurs dans Excel. Dans cette situation, nous obtenons les équivalences ci-dessous.
Calcul mathématique : Variance = V(X)
V(X) = a12 * V(X1) + a22 * V(X2) + a32 * V(X3) + 2 * a1* a2 * ρX1;X2 * σ1 * σ2 + 2 * a1* a3 * ρX1;X3 * σ1 * σ3 + 2 * a2* a3 * ρX2;X3 * σ2 * σ3
Calcul Excel : Variance = V(X)
V(X) = SOMMEPROD(A1:A3 ; A1:A3 ; B1:B3 ; B1:B3) + PRODUIT(2 ; A1:A2 ; D2 ; B1:B2) + PRODUIT(2 ; A1 ; A3 ; D3 ; B1 ; B3) + PRODUIT(2 ; A2:A3 ; E3 ; B2:B3)
Nombres à utiliser |
| Références Excel | |||
---|---|---|---|---|---|
Variables | Coefficients | Écarts-types | Coefficients | Écarts-types | |
X1 | a1 | σ1 | A1 | B1 | |
X2 | a2 | σ2 | A2 | B2 | |
X3 | a3 | σ3 | A3 | B3 |
Coefficients de corrélations - Nombres à utiliser |
| Coefficients de corrélations - Références Excel | ||||||
| X1 | X2 | X3 |
|
| X1 | X2 | X3 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
X1 |
|
|
| X1 |
|
|
| |
X2 | ρX1;X2 |
|
| X2 | D2 |
|
| |
X3 | ρX1;X3 | ρX2;X3 |
| X3 | D3 | E3 |
|
Vidéo d’aide
La vidéo ci-dessous illustre comment utiliser la fonction SOMMEPROD pour calculer la variance d’une combinaison linéaire de 2 variables aléatoires.