Calcul de la variance d'une combinaison linéaire de variables aléatoires avec SOMMEPROD

Description

Cette page s’adresse aux étudiants suivant le cours MATH 10605 - Introduction à l’analytique d’affaires ou à tout autre étudiant familier avec la notion de calcul de la variance d’une combinaison linéaire de variables aléatoires et cherchant à savoir comment calculer cette variance à l’aide de la fonction SOMMEPROD (SUMPRODUCT). Une vidéo d’aide est fournie tout en bas de cette page.

Exemple pour une combinaison linéaire de 2 variables aléatoires

Supposons que nous voulons calculer efficacement la variance de la variable aléatoire T = a1X1 + a2X2 dont les différentes valeurs utiles sont listées dans le tableau de gauche ci-dessous. Dans le tableau de droite, nous avons indiqué le nom des cellules où seraient situées ces valeurs dans Excel. Dans cette situation, nous obtenons les équivalences ci-dessous.

  • Calcul mathématique : Variance = V(X)

    • V(X) = a12 * V(X1) + a22 * V(X2) + 2 * a1* a2 * ρX1;X2 * σ1 * σ2

    • V(X) = (a1 * a1) * (σ1 * σ1) + (a2 * a2) * (σ2 * σ2) + (2 * a1* a2 * ρX1;X2 * σ1 * σ2)

  • Calcul Excel : Variance = V(X)

    • V(X) = (A1 * A1) * (B1 * B1) + (A2 * A2) * (B2 * B2) + (2 * A1 * A2 * C1 * B1 * B2)

    • V(X) = SOMMEPROD(A1:A2 ; A1:A2 ; B1:B2 ; B1:B2) + PRODUIT(2 ; A1:A2 ; C1 ; B1:B2)

    • Remarque : La fonction PRODUIT (PRODUCT) permet de multiplier toutes les cellules concernées ensemble.

Nombres à utiliser

 

Références Excel

Variables

Coefficients

Écarts-types

Coefficient de corr.

Coefficients

Écarts-types

Coefficient de corr.

X1

a1

σ1

ρX1;X2

A1

B1

C1

X2

a2

σ2

 

A2

B2

 

Exemple pour une combinaison linéaire de 3 variables aléatoires

Supposons que nous voulons calculer efficacement la variance de la variable aléatoire T = a1X1 + a2X2 + a3X3 dont les différentes valeurs utiles sont listées dans le tableau de gauche ci-dessous. Dans le tableau de droite, nous avons indiqué le nom des cellules où seraient situées ces valeurs dans Excel. Dans cette situation, nous obtenons les équivalences ci-dessous.

  • Calcul mathématique : Variance = V(X)

    • V(X) = a12 * V(X1) + a22 * V(X2) + a32 * V(X3) + 2 * a1* a2 * ρX1;X2 * σ1 * σ2 + 2 * a1* a3 * ρX1;X3 * σ1 * σ3 + 2 * a2* a3 * ρX2;X3 * σ2 * σ3

  • Calcul Excel : Variance = V(X)

    • V(X) = SOMMEPROD(A1:A3 ; A1:A3 ; B1:B3 ; B1:B3) + PRODUIT(2 ; A1:A2 ; D2 ; B1:B2) + PRODUIT(2 ; A1 ; A3 ; D3 ; B1 ; B3) + PRODUIT(2 ; A2:A3 ; E3 ; B2:B3)

Nombres à utiliser

 

Références Excel

Variables

Coefficients

Écarts-types

Coefficients

Écarts-types

X1

a1

σ1

A1

B1

X2

a2

σ2

A2

B2

X3

a3

σ3

A3

B3

Coefficients de corrélations - Nombres à utiliser

 

Coefficients de corrélations - Références Excel

 

X1

X2

X3

 

 

X1

X2

X3

X1

 

 

 

X1

 

 

 

X2

ρX1;X2

 

 

X2

D2

 

 

X3

ρX1;X3

ρX2;X3

 

X3

D3

E3

 

Vidéo d’aide

La vidéo ci-dessous illustre comment utiliser la fonction SOMMEPROD pour calculer la variance d’une combinaison linéaire de 2 variables aléatoires.